Vidal: ELIPSE

LA ELIPSE

Más de mil años después de que los griegos definieran las secciones cónicas, en la época del Renacimiento, el astrónomo polaco Nicholas Copérnicus (1473 - 1543), en su obra : Sobre las revoluciones de las esferas celestes, sostenía que todos los planetas, incluso la Tierra, giraban en órbitas circulares alrededor del Sol. Aunque muchas de las afirmaciones de Copérnico no eran válidas la controversia provocada por su teoría heliocéntrica empujó a los astrónomos a buscar un modelo matemático que explicará los movimientos de los planetas y el Sol. El primero en hallarlo fue el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571 - 1630).Kepler descubrió que los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, con el Sol colocado no en el centro sino en uno de los focos. El uso de las elipses para explicar el movimiento de los planetas es tan sólo una de sus diversas aplicaciones. Al igual que lo hicimos para la parábola vamos a definir la elipse como un lugar geométrico de puntos. En este caso usando dos puntos focales en vez de uno.

COMO CONSTRUIR UNA ELIPSE

Para dibujar una elipse se puede usar dos alfileres, lápiz e hilo.

Procedimiento es el siguiente

1. Se clavan los dos alfileres en los puntos considerados como focos.

2. Se unen ambos alfileres con cada extremo del hilo.

3. Se tensa el hilo con el lápiz.

4. Deslizamos el lápiz en el papel, y la punta del lápiz dibujará el lápiz.

IMAGEN

DEFINICIÓN Y ELEMENTOS DE LA ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) cuya ubicación en el plano es tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de él es constante

Estos dos puntos fijos del plano, se llaman focos y se designan por F₁ y F₂.

d(P;F₁)+d(P;F₂)=Constante

ELEMENTOS MÁS IMPORTANTE DE LA ELIPSE

a) FOCOS: Son los puntos fijos F1 y F2

b) RECTA FOCAL O EJE FOCAL.- Es la recta que pasa por los focos, tal como

c) RECTA SECUNDARIA.- Es la recta perpendicular a la recta focal en el punto medio del segmento

Ejemplo: la recta

d) CENTRO.- Es el punto de intersección de las rectas focal y secundaria y que equidista de los focos. Se designa por F₀.

e) VERTICES Y COVERTICES.- los vértices son los puntos de intersección de la elipse con la recta focal. Se designan por V1 y V2 a los untos B1 y B2 se les llama covértices.

f) EJE MAYOR.- Es el segmento V1V2 que se considera de longitud “2ª”, donde “a” es el valor del semieje mayor.

g) EJE MENOR es el segmento B1B2 de la recta secundaria interceptada por la elipse. Se considera de longitud “2b”, donde “b” es el valor del semieje menor.

h) DISTANCIA FOCAL.- es la distancia entre los focos. Se considera de longitud “2c” es decir: f1f2=2c.

i) LADO RECTO.- es la cuerda C1C2 perpendicular a la recta focal o eje de simetría.

VALOR DE LA CONSTANTE

Supongamos que el eje focal de la elipse coincide con el eje x, y que el centro se encuentra en el origen de coordenadas.

De acuerdo a lo anterior, las coordenadas de los focos son F₁(c,0) y F₂(-c,0)Si P(x,y) es un punto de la elipse, se cumple:

d(P;F1) + d(P;F2) = constante

Determinamos ahora el valor de la constante. Si consideramos al punto P ubicado en el vertice V₁, la suma de sus distancias a los focos es constante.

RELACIÓN ENTRE a, b y c

Para hallar una relación entre a,b y c ubicamos el punto P(x;y) en la intersección de la elipse con la recta secundaria (eje y)

En este caso:

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

Para encontrar la ecuación analítica de la elipse, representa las distancias entre P(x,y) y los focos F₁(c,0) y F₂(-c,0) en función de sus coordenadas.

d(P,F₁) + d(P,F₂) =2a

LONGITUD DEL LADO RECTO

Recordemos que se denomina aldo recto (L.R) a la cuerda que pasa por el foco y que es perpendicular al eje de la elipse:

En la elipse de la figura, las coordenadas de los extremos del lado recto son C₁(c,y) y C₂(c,-y) como C₁(c,y) pertenece a esta curva, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación de la elipse:

ECUACION ORDINARIA Y GENERAL DE LA ELIPSE

Consideremos la ecuación de la elipse con centro en el origen:

Si al punto centro le aplicamos una traslación T(h,k) sus nuevas coordenadas son (h,k) y el eje focal de la elipse se sigue manteniendo paralelo al eje x.

Entonces:

La ecuación ordinaria de la elipse con centro en F₀(h,k) y eje focal paralelo al eje x es:

Desarrollando los cuadrados de binomio, ordenado la ecuación e igualando a cero, encontramos la ecuación equivalente, llamada ecuación general de la elipse.