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El Número Π [Pi] y El área de un círculo

EL NÚMERO  Π  PI. CURIOSIDADES Y CÁLCULO

El número pi es la constante que relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro Π = L/D. Este no es un número exacto sino que es de los llamados irracionales, tiene infinitas cifras decimales. Ya en la antigüedad, se insinuó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio pero tan sólo desde el siglo XVII la correlación se convirtió en un dígito y fue identificado con el nombre "Pi" (de periphereia, denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo), A lo largo de la historia, a este ilustre guarismo se le han asignado diversas cantidades. En la Biblia aparece con el valor 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios le otorgaban 4(8/9)²; y en China 3,1724. Sin embargo fue en Grecia donde la correspondencia entre el radio y la longitud de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los más insignes enigmas a resolver. Un coetáneo de Sócrates, Antiphon, inscribió en el círculo un cuadrado, luego un octógono e ideó multiplicar la cantidad de lados hasta el momento en que el polígono obtenido ajustara casi con el anillo. Euclides precisa en sus Elementos, los pasos al límite necesarios y investiga un sistema consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares y en demostrar la convergencia del procedimiento.
Arquímedes reúne y amplía estos resultados. Prueba que el área de un círculo es el la mitad del producto de su radio por la circunferencia y que la relación del perímetro al diámetro está comprendida entre 3,14084 y 3,14285.
En el siglo XVIII Georges Louis Leclerc, Conde de Buffon, naturalista francés, ideó un ingenioso método. llamado "La aguja de Buffon" que relaciona el número pi con el lanzamiento de una aguja sobre una superficie rayada.
Buffon demostró que si lanzamos, al azar, una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D (se puede repetir el cálculo utilizando un suelo de baldosas y una aguja), la probabilidad de que la aguja corte a una línea es:

Con un gran número de tiradas, se consigue un valor aceptable de Π

Conforme se han desarrollado las matemáticas, en sus diversas ramas, álgebra, cálculo, etc, se han ido construyendo distintos artificios que permiten afinar cada vez más su valor. Uno de los casos más curiosos de la historia fue el del matemático inglés William Shanks, quien luego de un trabajo que le demandó casi veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desgraciadamente, Shanks incurrió en un error en el 528º decimal, y a partir de éste están todos mal.

Existen vías alternativas para calcular Π. Por ejemplo, podemos utilizar el periodo de un péndulo para realizar una estimación o usar procedimientos estadísticos. El sistema que se propone es parecido al del conde de Buffon, basado en la probabilidad.

Supongamos una circunferencia de radio 1, inscrito en un cuadrado Si creamos aleatoriamente pares de números (x,y) comprendidos entre cero y uno, si 1 ³ x² + y² el punto generado por x e y estará dentro del círculo mientras que si x² + y² ³ 1 los puntos estarán lógicamente en el cuadrado pero fuera del redondel. La probabilidad de que los puntos se hallen dentro de la circunferencia estará dada por la relación entre el área del círculo Π1² y la superficie del cuadrado (2²). Con una serie significativa de repeticiones la proporción entre los que caen en el círculo y fuera de él tiende a Π/4, y así obtenemos el valor de Π de una forma estadística.

 Se ha creado un programa que genera al azar los pares de dígitos. Concretamente crea 10 millones de puntos y determina el número Π cada millón de tiradas. Al ser una operación estadística, a veces nos acercamos al valor correcto (conocido con miles de cifras) y otras nos alejamos. Con esta técnica determinamos 3 decimales correctos obteniendo un error cercano al 0.02%.

El número pi tiene infinitos decimales. Ha sido y es una ardua empresa calcularlos. Una labor quizá tan bella como inútil. Tan superfluo como coronar el Everest o atravesar el Atlántico en una chalupa, pero esencial en la naturaleza del hombre.



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ÁREA DE UN CÍRCULO

SISTEMA PLANETARIO SOLAR

DIBUJOS DEL SISTEMA PLANETARIO SOLAR

FOTOS E IMAGENES DEL SISTEMA PLANETARIO SOLAR

FUENTE: IMAGENES GOOGLE

LA HISTORIA DE LA LÓGICA

LA  HISTORIA DE LA LÓGICA

ELIPSE

LA  ELIPSE

Más de mil años después de que los griegos definieran las secciones cónicas, en la época del Renacimiento, el astrónomo polaco Nicholas Copérnicus (1473 - 1543), en su obra : Sobre las revoluciones de las esferas celestes, sostenía que todos los planetas, incluso la Tierra, giraban en órbitas circulares alrededor del Sol. Aunque muchas de las afirmaciones de Copérnico no eran válidas la controversia provocada por su teoría heliocéntrica empujó a los astrónomos a buscar un modelo matemático que explicará los movimientos de los planetas y el Sol. El primero en hallarlo fue el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571 - 1630).Kepler descubrió que los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, con el Sol colocado no en el centro sino en uno de los focos. El uso de las elipses para explicar el movimiento de los planetas es tan sólo una de sus diversas aplicaciones. Al igual que lo hicimos para la parábola vamos a definir la elipse como un lugar geométrico de puntos. En este caso usando dos puntos focales en vez de uno.

COMO CONSTRUIR UNA ELIPSE

Para dibujar una elipse se puede usar dos alfileres, lápiz e hilo.

Procedimiento es el siguiente

1.      Se clavan los dos alfileres en los puntos considerados como focos.

2.       Se unen ambos alfileres  con cada extremo del hilo.

3.      Se tensa el hilo con el lápiz.

4.      Deslizamos el lápiz en el papel, y la punta del lápiz dibujará el lápiz.

IMAGEN

DEFINICIÓN Y ELEMENTOS DE LA ELIPSE

La elipse  es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y)  cuya ubicación en el  plano  es tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de él es constante

Estos dos puntos fijos del plano, se llaman focos y se designan por F₁  y F₂.

d(P;F₁)+d(P;F₂)=Constante

ELEMENTOS MÁS IMPORTANTE DE LA ELIPSE

a)     FOCOS: Son los puntos fijos F1 y F2

b)     RECTA FOCAL O EJE FOCAL.- Es la recta que pasa por los focos, tal como

c)      RECTA SECUNDARIA.- Es la recta perpendicular a la recta focal en el punto medio del segmento 

Ejemplo: la recta

d)     CENTRO.- Es el punto de intersección de las rectas focal y secundaria y que equidista de los focos. Se designa por F₀.

e)      VERTICES Y COVERTICES.- los vértices son los puntos de intersección de la elipse con la recta focal. Se designan por V1 y V2 a los untos B1 y B2 se les llama covértices.

f)       EJE MAYOR.- Es el segmento V1V2 que se considera de longitud “2ª”, donde “a” es el valor del semieje mayor.

g)     EJE MENOR es el segmento B1B2 de la recta secundaria interceptada por la elipse. Se considera de longitud “2b”, donde  “b” es el valor del semieje menor.

h)     DISTANCIA FOCAL.- es la distancia entre los focos. Se considera de longitud “2c” es decir: f1f2=2c.

i)       LADO RECTO.- es la cuerda C1C2 perpendicular a la recta focal o eje de simetría.

VALOR DE LA CONSTANTE

Supongamos que  el  eje focal de la elipse coincide con el eje x, y que el centro se encuentra en el origen de coordenadas.

De acuerdo a lo anterior, las coordenadas de los focos son F₁(c,0)  y F₂(-c,0)Si P(x,y) es un punto de la elipse, se cumple:

d(P;F1) + d(P;F2) = constante

Determinamos ahora el valor de la constante. Si consideramos al punto P ubicado en el vertice V₁, la suma de sus distancias a los focos es constante.

RELACIÓN  ENTRE  a, b y c

Para hallar una relación entre a,b y c ubicamos el punto P(x;y) en la intersección de la elipse con la recta secundaria (eje y)

En este caso: 

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

Para encontrar la ecuación analítica de la elipse, representa las distancias entre P(x,y) y los focos F₁(c,0)  y F₂(-c,0) en función de sus coordenadas.

d(P,F₁) + d(P,F₂) =2a

LONGITUD DEL LADO RECTO

Recordemos que se denomina aldo recto (L.R) a la cuerda que pasa por el foco y que es perpendicular al eje de la elipse:

En la elipse de la figura, las coordenadas de los extremos del lado recto son C₁(c,y) y C₂(c,-y) como C₁(c,y) pertenece a esta curva, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación de la elipse:

ECUACION ORDINARIA Y GENERAL DE LA ELIPSE

Consideremos  la ecuación  de la elipse  con centro en el origen:

Si al punto centro le aplicamos una traslación T(h,k) sus nuevas coordenadas son (h,k) y el eje focal de la elipse se sigue manteniendo paralelo al eje x.

Entonces:

La ecuación ordinaria de la elipse con centro en F₀(h,k) y eje focal paralelo al eje x es:



Desarrollando los cuadrados de binomio, ordenado la ecuación e igualando a cero, encontramos la ecuación equivalente, llamada ecuación general de la elipse.

Ahora si el eje  focal es paralelo al eje y, la ecuación ordinaria es de la forma:

EJERCICIOS

        PARA  CADA UNA DE LAS SIGUIENTES ELIPSES:

1)        RESOLVER                 4x²+9y²-36=0

Solución



2)          RESOLVER               y²+4x²- 4=0

Solución

3)        RESOLVER                 x²+4y²-6x+16y+21=0

Solución

VISTA

ARISTÓTELES

ARISTÓTELES

Aristóteles nació en el año 384 a.C. en una pequeña localidad macedonia cercana al monte Athos llamada Estagira, de donde proviene su sobrenombre, el Estagirita. Su padre, Nicómaco, era médico de la corte de Amintas III, padre de Filipo y, por tanto, abuelo de Alejandro Magno. Nicómaco pertenecía a la familia de los Asclepíades, que se reclamaba descendiente del dios fundador de la medicina y cuyo saber se transmitía de generación en generación. Ello invita a pensar que Aristóteles fue iniciado de niño en los secretos de la medicina y de ahí le vino su afición a la investigación experimental y a la ciencia positiva. Huérfano de padre y madre en plena adolescencia, fue adoptado por Proxeno, al cual pudo mostrar años después su gratitud adoptando a un hijo suyo llamado Nicanor.

FRASES   CELEBRES

"Considero más valiente al que conquista sus deseos que al que conquista a sus enemigos, ya que la victoria más dura es la victoria sobre uno mismo".

" La inteligencia consiste no sólo en el conocimiento, sino también en la destreza de aplicar los conocimientos en la práctica".